파동(Wave) #

파동이란 #

파동은 매질을 통해 운동이나 에너지가 전달되는 현상이다. 쉽게 말해, 흔들림이고 이 흔들림에는 에너지가 있다. 쓰나미를 생각해 보자. 쓰나미는 바닷속 어딘가에서 강한 에너지가 생겨 바닷물이라는 매질을 통해 전달되어 생긴다. 빛이 파동이라고 믿던 시절 마이컬슨-몰리 실험으로 빛의 매질이라고 생각했던 에테르(ether)를 찾고자 했다. 물론 에테르를 존재하지 않았고 이 실험은 부정 실험으로 유명하다. 빅뱅 이론의 실마리가 되었던 은하계가 멀어지고 있는 사실을 어떻게 알았을까? 도플러 효과이다. 빛의 발원지가 이동하면 그 파동의 모양도 변화함에 따라 점점 더 은하계가 멀어지고 있다는 사실을 알았다. 소리, 통신 신호, 나아가면 전자까지도 파동이다. 이렇듯 우리 주변에는 온통 파동이다. 그럼 어떻게 파동을 다룰 수 있을까?

푸리에 #

푸리에(Jean Baptiste Joseph, Baron de Fourier) 는 19세기 나폴레옹과 동시대에 살았으며 스승은 라그랑지(Joseph Louis Lagrange), 라플라스(Pierre-Simon Laplace)이다. 더욱이 제자는 디리클레(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)이다. 말 그대로 새로운 시대의 서막이었다. 푸리에는 재봉사의 아들로 태어났으며 유년기에 부모를 모두 잃었지만, 천재성과 능변을 가지고 있었다. 그는 물체를 가열할 때 열이 전달되는 방식을 연구했는데 이때 열이 퍼져나가는 상태를 파동으로 나타낼 수 있다는 점과 파동의 재미있는 수학적 특성을 알아내었다.

푸리에 변환(Fourier Transform) #

푸리에 변환 전계는 간략하게 다음과 같다.

1. 파동은 sin, cos로 나타낼 수 있다.
2. 모든 파동은 sin, cos의 합으로 이루어져 있으며 역으로 파동을 sin, cos로 나타낼 수 있다(푸리에 급수).
3. 푸리에 급수에서 계수와 주파수를 구한다.
4. 이 계수와 주파수가 푸리에 변환이다.

더 나아가기 전에 그럼 왜 푸리에 변환이 필요한가. 파동을 sin, cos로 나타낼 수 있는데 그 특성을 찾거나 처리하기는 쉽지 않다고 한다. 푸리에는 이러한 파동을 여러 가지 측면으로 고민하여 특성을 찾아내 푸리에 변환을 만들었다. 이러한 예는 수학사에서 매우 쉽게 찾아볼 수 있고 이러한 시도가 수학을 좀 더 풍부하고 영역을 넓히게 한 계기기도 하다. 이를테면, 앤드루 와일스는 페르마의 방정식이 타원 방정식으로 변환 가능한지를 증명하여 증명하였다(사실, 너무 어려운 이야기이다). 어쨌든, 핵심은 해결하고자 하는 문제를 다른 영역으로 변환하여 문제를 푼다는 점이다. 즉, 푸리에 변환에 경우, 시간의 도메인에서 주파수 도메인으로 변환하여 그 특성으로 문제를 바라보게 한다. 몇 가지 용어를 정리하자면 다음과 같다.

• 주기(T) : 파동이 한 번 진동하는 데 걸리는 시간
• 주파수(f) : 1초 동안 진동하는 파동의 횟수
• 각속도(w) : 각도 / 시간, 각도 = 각속도 * 시간

sin 곡선과 cos 곡선이 모두 원에서 나온다는 사실을 잊지 말자(오일러 공식의 실마리가 된다). 시계 초침이 12시 지점에서 돌기 시작하면 60초 후면 다시 출발한 지점으로 돌아오니 초침의 주파수는 1/60Hz이고 분침은 1/(60*60) Hz이다. 참고로 사람이 들을 수 있는 주파수는 20Hz에서 30,000Hz라고 한다. Sox를 설치하고 이 대역 주파수를 만들어 들어보자.

sox --null -r 22050 sine.wav synth 3 sine 20 #20Hz
sox --null -r 22050 sine.wav synth 3 sine 300 #300Hz
sox --null -r 22050 sine.wav synth 3 sine 10,000 #10,000Hz
sox --null -r 22050 sine.wav synth 3 sine 30,000 #10,000Hz

쉽게 가청 주파수를 찾을 수 있다. 다음 코드를 사용하여 sin, cos 함수와 FFT를 그릴 수 있다.

import os
import glob

import scipy
import scipy.io.wavfile
from scipy import fftpack
import matplotlib.pyplot as plt

def plot_wav_fft(wav_filename, desc=None, trans=False):
    plt.clf()
    plt.figure(num=None, figsize=(6, 4))
    sample_rate, X = scipy.io.wavfile.read(wav_filename)
    spectrum = fftpack.fft(X)
    freq = fftpack.fftfreq(len(X), d=1.0 / sample_rate)

    plt.subplot(211)
    num_samples = 300.0
    plt.xlim(0, num_samples / sample_rate)
    plt.xlabel("time [s]")
    plt.title(desc or wav_filename)
    plt.plot(np.arange(num_samples) / sample_rate, X[:num_samples])
    plt.grid(True)

    if trans:
        plt.subplot(212)
        plt.xlim(0, 5000)
        plt.xlabel("frequency [Hz]")
        plt.xticks(np.arange(5) * 4000)
        if desc:
            desc = desc.strip()
            fft_desc = desc[0].lower() + desc[1:]
        else:
            fft_desc = wav_filename
        plt.title("FFT of %s" % fft_desc)
        plt.plot(freq, abs(spectrum), linewidth=2)
        plt.grid(True)
        plt.tight_layout()

    rel_filename = os.path.split(wav_filename)[1]
    plt.savefig("%s_wav_fft.png" % os.path.splitext(rel_filename)[0],
                bbox_inches='tight')


    plt.show()


def plot_wav_fft_demo():
    plot_wav_fft("sine_300.wav")
    plot_wav_fft("sine_10000.wav")
    plot_wav_fft("sine_mix.wav")

plot_wav_fft_demo()

sin 함수를 그려보자.

주파수와 크기가 다른 sin 함수도 그려보자.

이 두 sin 함수를 더하면 어떻게 될까? 단순히 시간마다 y 값을 더한 함수가 된다. cos 함수도 같으며 이로써 모든 파동은 sin과 cos 함수를 더하여 나타낼 수 있다.

그러면 반대로 임의 파동을 sin, cos 함수로 분해할 수 없을까? 이 문제를 해결한 사람이 푸리에이고 임의의 파동을 sin과 cos 함수로 분해한 것이 푸리에 급수가 된다. 이러한 것은 수학에서 자주 볼 수 있다. 푸리에 급수를 나타내면 다음과 같다. 푸리에 급수를 구하는 방법은 그리 어렵지 않다. 도전해 보길 바란다.

$$ f(x)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty }\left ( a_n\cos (nx) + b_n \sin (nx) \right ) $$

이제 푸리에 급수를 구했고 푸리에 급수를 보면 정의되지 않은 값이 있는데 그것이 푸리에 계수이다. 즉, 주파수와 크기이다. 푸리에 계수를 구하면 다음과 같다.

$$ a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)dt $$ $$ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\cos (nwt)dt $$ $$ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\sin (nwt)dt $$

여기까지가 끝이다. 시간 도메인으로 나타내던 파동을 주파수 도메인으로 변경하였다. 다시 처음으로 돌아가자. 우리가 처음 보았던 sin 파동을 푸리에 변환해 보자.

다른 주파수의 sin 파동도 푸리에 변환해 보자.

주파수가 다르므로 다른 값이 나온다. 마지막으로 두 개가 합해진 파동을 변환하면 두 요소를 볼 수 있다.

활용 #

파동을 푸리에 변환하면 구성하고 있는 주파수로 볼 수 있다. 즉, 파동의 특징을 볼 수 있다는 점이다. 이러한 특징으로 가장 기본적으로 '가', '나', '다'와 같은 기본 음절을 구별할 수 있거나 목소리로 남자와 여자를 구별할 수 있다. 가장 큰 계수를 가지는 주파수 2, 3개를 선택하여 음절별로 비교해 보면 차이점 있다.

한계 #

시간에 대한 연속성이 고려되지 않음으로써 신호 데이터의 불연속성, 고주파 성분 포함 가능성으로 인해 신호의 특징 분석에 난항을 겪을 수 있다.

이산푸리에변환(Discrete Fourier Transform) #

이산신호(Discrete Signal)에 대한 푸리에 변환을 의미한다. 이산신호는 시간과 시간 사이가 연속이 아닌, 간격이 있는 신호를 의미하며 컴퓨터에서 다루어지는 모든 신호는 사실 이산신호라 할 수 있다. '연속'이라는 것은 '무한대로 작은 간격'을 의미하고, 유한한 계산능력을 가진 컴퓨터가 처리할 수 없기 때문이다. 따라서, 컴퓨터에서의 푸리에 변환은 모두 이산 푸리에 변환에 기반을 둔다.

맺음말 #

지금까지 파동과 푸리에 변환을 살펴보았다. 푸리에 변환을 사용하면 소리, 전파와 같은 파동의 특성을 쉽게 파악할 수 있으며, 수학 영역에서 미분, 적분, 함수의 연속성, 복소수 등 다양하게 영향을 미쳤다.